代数 模群 ${\rm PSL}_2 (\mathbb{Z})$ 是自动群

neozhaoliang · 2019年08月23日 · 95 次阅读

打开任何一本讲模形式的书,你几乎必然会看到下面的图形:

这个图展示的是模群 ${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 在上半双曲空间上的作用。我们来解释下:

${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 由所有形如

$$z\to \frac{az+b}{cz+d},\quad a,b,c,d\in\mathbb{Z}, \ ab-cd=1.$$

的分式线性变换组成。它可以由如下三个基本反射生成:

$$A: z\to z+1,\quad B:z\to z-1,\quad C:z\to -\frac{1}{z}.$$

这三个基本反射正是关于图中阴影区域的三个边界的反射。

${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 中的任何元素 $g$ 都可以表示为 $A,B,C$ 的乘积,这乘积是一个由 $A,B,C$ 组成的单词,但是这个单词表示不是唯一的。我们可以给 $g$ 规定一个唯一的标准形式,即最短字典序表示。在 $g$ 的所有单词表示中,我们取其长度最短的,并且是字典序 $A<B<C$ 下最小的那个单词作为其标准表示。所有 $g\in {\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 的最短字典序表示构成一个“语言”,叫做由群 ${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 的最短字典序语言 (shortlex language)。

精彩的地方来了:${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 的最短字典序语言是一个正则语言,即它可以由一个有限状态机生成,群中的元素与状态机识别的单词一一对应。这个状态机由下图所示:

比如 ${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 的长度为 1 的元素有三个,分别是 $A,B,C$。长度为 2 的单词有 $AA, BB, AC,BC,CA,CB$。长度为 3 的单词有

$$AAA,AAC,ACA,ACB,BBB,BBC,BCA,BCB,CAA,CBB.$$

依次类推。

于是我们可以很容易地不重复不遗漏地生成 ${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 的不超过给定长度的所有元素,将它们依次作用在图中的阴影区域上,就得了开头的密铺图形。

你可能要问了:${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$ 是自动群这个事情是不是依赖于 $A,B,C$ 这组特殊的生成元呢?如果换一组生成元,它对应的最短字典序语言还是正则语言吗?答案是肯定的,自动群与生成元的选取无关,它不依赖于特定的群表现。

参考文献:

  1. Word processing in groups. David Epstein.
共收到 0 条回复
1楼 已删除
需要 登录 后方可回复, 如果你还没有账号请点击这里 注册