• 答案是:随着逃逸半径 $R$ 的增大,B 获胜的概率近似为

    $$(1.0293737 + \frac{2}{\pi}\ln R + O(R^{-1}))^{-1}.$$

    当 $R\approx 4.5\times 10^{12}$ 为太阳系半径时,这个概率值大约是 $1/20$;当 $R\approx 10^{21}$ 为银河系半径时,这个概率值只会下降到大约 $1/30$。意外不意外?

  • 公布一下答案:随着 $n\to\infty$,一个节点 $v$ 是随机生成树的叶节点的概率存在极限,这个极限值是

    $$\frac{8(\pi-2)}{\pi^3}\approx 0.2945449182075.$$

    是不是很奇妙呢?这个问题与随机游动,电网络和 Abelian sandpile 模型都有密切的联系。 下图显示了一个 80x80 的网格图的一个随机生成树,它包含 1884 个叶节点,所以叶节点占全部节点的比例为 $1884/6400=0.294375$,跟极限值很接近了!